Cho bàn cờ m × n bất kỳ với m nhỏ hơn hoặc bằng n, không có hành trình đóng nào của quân mã nếu một trong ba điều kiện dưới đây xảy ra:

1. m và n đều là lẻ
2. m = 1, 2, hoặc 4; n khác 1
3. m = 3 và n = 4, 6, hoặc 8

Điều kiện 1

Dễ dàng chứng minh rằng khi điều kiện 1 thỏa mãn, không thể có hành trình đóng của quân mã.

Trên bàn cờ vua, các ô đen và trắng xen kẽ nhau, một quân mã luôn đi từ một ô tới ô khác màu.

Vì m và n đều là lẻ nên khi đó số các ô đen và trắng trên bàn cờ là khác nhau. Chẳng hạn bàn cờ 5×5 có 13 ô đen và 12 ô trắng.

Một đường đi đóng của quân mã phải có số ô đen và trắng bằng nhau, tổng số ô trên mọi hành trình đóng là số chẵn. Do đó một hành trình đóng không thể đi qua mỗi ô đúng một lần khi số các ô trên bàn cờ là số lẻ.

Điều kiện 2

Điều kiện 2 xảy ra khi độ dài cạnh ngắn là 1, 2, hoặc 4, cũng không thể có đường đi đóng.

Dễ thấy rằng khi m = 1 hoặc 2 không thể có hành trình của quân mã: quân mã không thể đi qua mọi ô (trừ trường hợp bàn cờ 1x1).

Cũng có thể thấy rằng bàn cờ 4 × n không có hành trình đóng của quân mã.

Giả sử một bàn cờ kích thước 4 × n có một hành trình đóng của quân mã. Ta xét hai tập con các ô trên bàn cờ, A 1 {\displaystyle A_{1}} và B 1 {\displaystyle B_{1}} , A 1 {\displaystyle A_{1}} gồm các ô thuộc nửa màu đen và B 1 {\displaystyle B_{1}} gồm các ô màu trắng. Theo quy tắc cờ vua quân mã luôn di chuyến liên tiếp giữa hai tập các ô đen và tập các ô trắng và ngược lại ( A 1 {\displaystyle A_{1}} và B 1 {\displaystyle B_{1}} ).

.

Ta lại xét hình minh họa bên phải. Ta định nghĩa A 2 {\displaystyle A_{2}} là tập các ô màu xanh lá cây và B 2 {\displaystyle B_{2}} là tập các ô màu đỏ trên hình vẽ. Các tập này có số ô bằng nhau. Chú ‎y rằng từ một ô trong A 2 {\displaystyle A_{2}} quân mã chỉ có thể nhảy sang một ô trong B 2 {\displaystyle B_{2}} . Ngoài ra, vì quân mã phải đi qua tất cả các ô, nên ngược lại khi quân mã đứng ở một ô trong B 2 {\displaystyle B_{2}} ở bước tiếp theo nó phải nhảy về một ô thuộc A 2 {\displaystyle A_{2}} (nếu không như vậy số thì trên hành trình kín ấy quân mã phải có hai ô liên tiếp trong A 2 {\displaystyle A_{2}} điều đó không xảy ra).

Ta sẽ tìm thấy mâu thuẫn trong lập luận sau đây.

Vì có một hành trình đóng của quân mã, nên có thể chọn bất kỳ ô nào làm ô thứ nhất của hành trình

1. Chọn ô thứ nhất thuộc tập A 1 ∩ A 2 {\displaystyle A_{1}\cap A_{2}} .
2. Khi đó ô thứ hai phải thuộc B 1 ∩ B 2 {\displaystyle B_{1}\cap B_{2}} .
3. Ô thứ ba thuộc tập A 1 ∩ A 2 {\displaystyle A_{1}\cap A_{2}} .
4. Ô thứ tư thuộc tập B 1 ∩ B 2 {\displaystyle B_{1}\cap B_{2}} .
5. ...

Như thế hành trình này không chưa các ô thuộc A 1 ∩ B 2 {\displaystyle A_{1}\cap B_{2}} và B 1 ∩ A 2 {\displaystyle B_{1}\cap A_{2}} do đó không thể chứa tất cả các ô trên bàn cờ..

Điều kiện 3

Điều kiện 3 được chứng minh cho từng trường hợpTuy nhiên, chúng vẫn có thể có lời giải với hành trình mở.Chẳng hạn với bàn cờ 3 x 4 ta có 4 hành trình mở sau: